Zvirongwa zvekodzero dzakasiyana-siyana dzechikafu. Sangano rakasiyana-siyana rezvinyorwa zvakasiyana-siyana zvealgebraic equations

Kudzokera kuchikoro, mumwe nomumwe wedu akadzidza equations uye, zvichida, chirongwa che equations. Asi kwete vanhu vakawanda vanoziva kuti kune nzira dzakawanda dzokugadzirisa nadzo. Nhasi tichakurukurirana zvakadzama nzira dzose dzekugadzirisa hurongwa hwehuwandu hwema algebraic equations hune huwandu hunopfuura maviri.

Nhoroondo

Kusvika iye zvino, inozivikanwa kuti unyanzvi hwekugadzirisa matanho uye maitiro avo anobva muBhabhironi rekare neEgypt. Kunyange zvakadaro, kuenzana mumutambo wavo wakajairika kwatiri takaonekwa mushure mekuonekwa kwechiratidzo chekuenzana "=", iyo yakatangwa muna 1556 neChirungu cheMatemati Rekodi. Nenzira, chiratidzo ichi chakasarudzwa nokuda kwechikonzero: zvinoreva zviviri zvakaenzana zvikamu zvakaenzana. Uye ndezvechokwadi kuti muenzaniso wakanaka wekuenzana haugoni kufungidzirwa.

Muvambi wemazuva ano mazita ekunyorwa kwevasingazivikanwi uye zviratidzo zvezvikoro ndiye chiremba wemasvomhu wechiFrench Francois Viet. Zvisinei, mazita ayo akasiyana zvikuru kubva nhasi. Semuenzaniso, nhamba ye nhamba isingazivikanwi yakarongedzwa nehuwandu Q (chiLatini "quadratus"), uye cube neyo tsamba C (chiCatin "cubus"). Izvo zvinyorwa zvino zvinoita sezvisingagadzikane, asi zvino ndiyo yaiva nzira inonzwisisika yekunyora maitiro ezvinyorwa zvinyorwa zve algebraic equations.

Zvisinei, kusagadzikana mune izvozvi nzira yekugadzirisa kwaiva kuti masvomhu akaonekwa semafungiro akanaka chete. Zvichida izvi zvakakonzerwa nekuti maitiro asina kunaka akanga asina kushandiswa kwakakodzera. Chero zvakadaro, vaItaly nyanzvi yemasvomhu Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano naRafael Bombelli muzana remakore rechi16 ndivo vakatanga kutanga vaona maitiro akaipa. Nzira yemazuva ano, nzira yakakosha yekugadzirisa quadratic equations (kuburikidza nekusarura) yakasikwa muzana remakore rechi17 chete nekuda kwebasa raDescartes neNewton.

Pakati pezana remakore rechi18, nyanzvi yemasvomhu Gabriel Kramer akawana nzira itsva yekugadzirisa matanho ekubatanidza kwemazana nyore. Iyi nzira yakabva yatumidzwa zita rake uye kusvikira nhasi isu tiri kushandisa iyo. Asi isu tichataura nezveCamamer's method zvishoma nezvishoma, asi zvino, tichakurukurirana maonero ezvinyorwa uye nzira dzokugadzirisa ivo pachavo kubva pane.

Line equation

Maonero ezvinyorwa ndiwo maenzanisi akareruka ane shanduko (s). Dzinoshandiswa se algebraic. Nhamba dzekuenzanisa dzakanyorwa mumutauro wakawanda seizvi: ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b. Mumiririri wavo mune iyi fomu ichadikanwa kuti kuve nekugadzirisa zvirongwa uye matrices zvakare.

Zvirongwa zvekodzero dzakasiyana-siyana dzechikafu

Tsanangudzo yemutauro uyu ndeyekuti: iungano yekuenzanisa iyo yakawanda yakawanda isingazivikanwi uye sarudzo imwe chete. Sezvo mutemo, kuchikoro, zvinhu zvose zvakagadziriswa nehurongwa huine huviri kana hutatu kuenzanisa. Asi kune maitiro ane mana kana kupfuura zvikamu. Ngatitarisei kutanga, kuti tinganyora sei kuitira kuti munguva yemberi zvigadzirise kugadzirisa. Chokutanga, maitiro ezvinyorwa zvealgebraic anoenzanirana anotarisa zviri nani kana zvese zvinyorwa zvinyorwa se x neyo inotsanangurwa: 1,2,3 nezvimwewo. Chechipiri, zvakakosha kuunza mazano ose kune fomu yechinyorwa: ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b.

Pashure pezviito izvi zvose, tinogona kutanga kutaurira nzira yekuwana sarudzo kumagadzirirwo ekuenzanisa. Kunyanya kune izvi tinoda matrices.

Matrices

A matrix ndiro tafura inoumbwa nemitsara uye mapurumoni, uye pamaketani avo ndezvayo. Ichi chinogona kunge chiri chakanaka chakanaka kana zvimwe zvinoshandiswa. Kazhinji kazhinji, kuratidza zvinhu, zvinowanikwa pasi pezvinyorwa (somuenzaniso, ₁₁ kana ₂₃ ). Nhamba yekutanga ndeye nhamba yemutsara, uye wechipiri ndiyo chinyorwa. Pamusoro pematrices, uyewo pamusoro pemamwe masheti, unogona kuita mabasa akasiyana-siyana. Saka, unogona:

1) Bvisa uye uwedzere huwandu hwemafura tafura.

2) Itai kuti matrix awedzere nhamba kana vector.

3) Kudhindwa: shandura mitsetse yematrikisi mumadzamu, uye mizamu - mumitsara.

4) Wedzera matrices kana nhamba yemitsetse yeimwe yeyo yakaenzana nenhamba yemakamuri eimwe.

Tichakurukura mazano ese aya nekuwedzera, sezvo achatibatsira mune ramangwana. Kubvisa uye kuwedzerwa kwematrices kuri nyore. Kubva patinotora matrices ehukuru hwakafanana, chimwe nechimwe chefurafura imwe chinokonzerwa nechimwe nechimwe cheimwe. Nokudaro tinowedzera (kubvisa) zvinhu zviviri izvi (zvinokosha kuti vamire munzvimbo imwechete mumatrices avo). Paunowedzera matrix nenhamba kana vector, iwe unongowedzera imwe neimwe ye matrix nenhamba iyoyo (kana vector). Kuchinja inzira inofadza zvikuru. Zvinonakidza dzimwe nguva kuzviona muupenyu chaihwo, somuenzaniso, paunenge uchichinja maitiro ehwendefa kana foni. Mifananidzo padeskoni iine matrix, uye kana nzvimbo yacho ichichinja, inoshandurwa uye inowedzera, asi inoderera mukukwirira.

Ngatimboongororai matanho akadaro, sekuwedzera kwematrixes. Kunyangwe zvisingauyi zvakanaka, zvichange zvichiri zvinobatsira kuziva. Wedzera matrices maviri chete kana nhamba yemakoroni etafura imwe yakaenzana nenhamba yemitsetse yeimwe. Iye zvino tinotora nheyo dzemutsara wematrikisi rimwechete uye nheyo dzekamuri yakakodzana yeimwe. Tinovawanza ivo kamwe chete uye vovawedzera (izvo, semuenzaniso, chigadzirwa chezvinhu ₁₁ uye ₁₂ ne b ₁₂ uye b ₂₂ nde: a ₁₁ * b ₁₂ + a ₁₂ * b ₂₂ ). Nokudaro, chimwe chinhu chetafura chinowanikwa, uye nzira imwechete inozadzwa zvakare.

Iye zvino tinokwanisa kutanga kutarisa kuti nzira yeiyo equation yakagadziriswa.

Nzira yeGauss

Iyi nyaya inotanga kuitika kuchikoro. Isu tinoziva pfungwa ye "system of two equations" uye zvakanaka uye inogona kugadzirisa. Asi zvakadini kana nhamba yean equations inopfuura mbiri? Nzira yeGauss ichatibatsira mune izvi .

Zvechokwadi, zvakakosha kushandisa iyi nzira kana tikaita matrix kubva muhurongwa. Asi iwe haugoni kuzvishandura uye nekugadzirisa iyo nenzira yakachena.

Saka nzira yekuenzanisa kweGarus yakajeka inogadzirisa sei nzira iyi? Nenzira, kunyange zvazvo nzira iyi inonzi zita rake, asi yakawanikwa munguva yekare. Gauss anoratidza zvinotevera: kuita mabasa nekuenzanisa, kuitira kuti pakupedzisira utungamirire zvose zvakakwana kune fomu-yakafanana-fomu. Izvi zvinoreva kuti zvakakosha kuti kubva kumusoro kusvika pasi (kana zvakarongeka zvakanaka) kubva kuyano yekutanga kusvika kune yekupedzisira inoderera neiyo isingazivikanwi. Mune mamwe mazwi, tinoda kuzviita kuitira kuti tiwane, titi, kuenzanisa zvitatu: mukutanga - zvitatu zvisingazivikanwi, mune yechipiri - zviviri, mune chechitatu-rimwe. Zvadaro kubva pakubatana kwekupedzisira tinowana yekutanga isingazivikanwe, inotsiva kukosha kwayo muchipiri kana kuti kuenzanisa kwekutanga, uye owana zvakasara zviviri zvinoshandiswa.

Cramer's method

Kuti uzive nzira iyi, zvakakosha kuti uve nehutano hwekuwedzera, kubvisa matrices, uyewo kukwanisa kuwana zvinogadzirisa. Nokudaro, kana iwe uchiita zvakaipa kana usingazivi, iwe unotofanira kudzidza nekuita.

Chii chinonyanya kukosha chemuitiro uyu, uye kuti ungazviita sei kuitira kuti urongwa hwekufananidza kweCramamer huwanike? Zviri nyore chaizvo. Tinofanira kuvaka matrix yenhamba (inenge nguva dzose) coefficients yehurongwa hwemashoko akafanana algebraic equations. Kuti uite izvi, ingotora nhamba pamberi pezisingazivikanwe ugozviisa mutafura nenzira yekunyora kuti dzakanyorwa muhurongwa. Kana pane "-" "chiratidzo" pamberi pe nhamba, nyora nyora yakaipa. Saka, takanyora chikwata chekutanga che coefficients chekusazive, kwete kusanganisira nhamba mushure mekuenzanisa zviratidzo (zvakajeka kuti kuenzanisa kunofanira kuderedzwa kusvika kune fomu yechinyorwa, apo ruoko rworudyi rune nhamba chete, uye kuruboshwe zvose zvisingazivikanwi ne coefficients). Zvadaro tinoda kuumba mamwe matrices akawanda, rimwe chete pane rimwe nerimwe rakasiyana. Kuti uite izvi, tora nzvimbo yekutanga yematrikisi zvakare, imwe nhindi pamwe chete ne coefficients yendarama yemanhamba shure kwechiratidzo chakaenzana. Nokudaro tinowana matrices anoverengeka uye tinowana maitiro avo.

Mushure mokunge tawana zvinogadzirisa, chinhu chiduku. Tine matrix okutanga, uye kune matanho akawanda akawana izvo zvinowirirana nezvimwe zvakasiyana-siyana. Kuti tigadzirise hurongwa huripo, tinoparadzanisa zvinogadziriswa zvefurafura yakagadziridzwa mumutsetse wetafura yekutanga. Nhamba inoberekwa ndiyo kukosha kweimwe yezvimwe. Saizvozvowo, tinowana zvose zvisingazivikanwi.

Dzimwe nzira

Kune dzimwe nzira dzakawanda dzekuwana mhinduro yehurongwa hwekuenzanisa kwemashoko. Semuenzaniso, izvo zvinonzi Gauss-Jordan nzira, iyo inoshandiswa kutsvaga mhinduro dzegadziriro ye quadratic equations, yakabatanawo nekushandiswa kwematrices. Kunewo nzira yeJacobi yekugadzirisa hurongwa hwehutano hwe algebraic equations. Ndiyo inonyanya kugadziriswa kwekombiyuta uye inoshandiswa mumakambani ekombiyuta.

Mhosva dzakaoma

Kunzwisisa kunowanzoitika kana nhamba yean equations iri pasi pehuwandu hwezvimwe zvinoshandiswa. Zvadaro tinogona kunyatsoti, kana chirongwa chacho hachienderani (kureva kuti, hachina midzi) kana kuti nhamba yezvigadziriswa zvayo inotangira kusvika. Kana tine chikwata chechipiri, zvino tinofanira kunyora pasi mugadziriswe wehutano hwehutano hwemazana. Ichange ine zvingashandiswa imwe chete.

Mhedziso

Saka takauya kumagumo. Ngatitaurirei: tave tatsvaga nzira yekuita uye matrix, uye takadzidza nzira yekuwana sarudzo yakawanda yehurongwa hwekuenzanisa kwemashoko. Mukuwedzera, takakurukura mamwe maitiro. Takaona kuti nzira yekuenzanisa kwakasiyana-siyana yakagadziriswa sei: nzira yeGauss uye nzira yeCramamer. Takataura pamusoro pematambudziko akaoma uye dzimwe nzira dzekuwana mhinduro.

Kutaura zvazviri, nyaya iyi yakawanda kwazvo, uye kana uchida kuinzwisisa zviri nani, tinokurudzira kuverenga mamwe mabhuku anokosha.